Qu'est-ce que théorème du rang ?

Le théorème du rang est un théorème fondamental en algèbre linéaire, qui décrit comment les dimensions des espaces vectoriels liés à une transformation linéaire sont liées.

Plus précisément, le théorème du rang stipule que pour toute transformation linéaire T d'un espace vectoriel V vers un autre espace vectoriel W, la somme de la dimension de son noyau (l'ensemble des vecteurs de V qui sont envoyés à zéro par T) et de la dimension de son image (l'ensemble des vecteurs de W qui sont l'image d'au moins un vecteur de V par T) est égale à la dimension de l'espace de départ V.

Autrement dit, si T: V → W est une application linéaire, alors dim(V) = dim(noyau(T)) + dim(image(T)).

Le théorème du rang est utilisé pour résoudre de nombreux problèmes en mathématiques appliquées, tels que la résolution de systèmes d'équations linéaires, la détermination de l'existence de solutions pour un système linéaire et la compréhension de la structure des matrices. Il est donc largement utilisé dans de nombreux domaines techniques, tels que la physique, l'ingénierie, l'informatique et les sciences économiques.